Question

以下命題：
①若|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|，則

a

∥

b

；
②

a

=(-1，1)在

b

=(3，4)方向上的投影為

1

5

；
③若△ABC中，a=5，b=8，c=7，則

BC

•

CA

=20；
④若

a

•

b

＜0，則向量

a

與

b

的夾角為鈍角．
則其中真命題的個數是（　　）

Answer 1

分析：①已知若|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|根據向量的數量積公式可得兩向量的夾角，可以對

a

∥

b

進行判斷；
②先求出兩個向量夾角θ的余弦值，再求得

a

=(-1，1)在

b

=(3，4) 方向上的投影為|

b

|cosθ；
③△ABC中，a=5，b=8，c=7，利用余弦定理求出∠ACB，再利用向量的數量積求解即可；
④利用向量的數量積公式得到

a

•

b

＜0時，

a

與

b

的夾角為鈍角或平角得到結論．

解答：解：①設兩個向量夾角θ，
∵|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|
可得θ=0或π，可得

a

∥

b

，故①正確；
②設兩個向量夾角θ，
因為

a

=(-1，1)，

b

=(3，4)
可得cosθ=

(-1，1)•(3，4)

2 ×5

=

2

10

，
∴

a

=(-1，1)在

b

=(3，4)方向上的投影為|

a

|cosθ=

1

5

，故②正確；
③△ABC中，a=5，b=8，c=7，∴cos∠ACB=

52+82-72

2•5•8

=

1

2

，
∴

BC

•

CA

=|

BC

|•|

CA

|cos(π-∠ACB)=-20，
故③不正確；
④

a

•

b

＜0時，

a

與

b

的夾角為鈍角或平角，不一定是鈍角，故④錯誤．
故①②正確；
故選B．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查向量的數量積與向量的夾角與模，考查綜合分析與解決問題的能力，屬于中檔題．