Question

（2012•浙江）定義：曲線C上的點到直線l的距離的最小值稱為曲線C到直線l的距離，已知曲線C₁：y=x²+a到直線l：y=x的距離等于曲線C₂：x²+（y+4）²=2到直線l：y=x的距離，則實數a=

9

4

．

Answer 1

分析：先根據定義求出曲線C₂：x²+（y+4）²=2到直線l：y=x的距離，然后根據曲線C₁：y=x²+a的切線與直線y=x平行時，該切點到直線的距離最近建立等式關系，解之即可．

解答：解：圓x²+（y+4）²=2的圓心為（0，-4），半徑為

2

圓心到直線y=x的距離為

4

2

=2

2

∴曲線C₂：x²+（y+4）²=2到直線l：y=x的距離為2

2

-

2

=

2

則曲線C₁：y=x²+a到直線l：y=x的距離等于

2

令y′=2x=1解得x=

1

2

，故切點為（

1

2

，

1

4

+a）
切線方程為y-（

1

4

+a）=x-

1

2

即x-y-

1

4

+a=0
由題意可知x-y-

1

4

+a=0與直線y=x的距離為

2

即

|a- 1 4 |

2

=

2

解得a=

9

4

或-

7

4

當a=-

7

4

時直線y=x與曲線C₁：y=x²+a相交，故不符合題意，舍去
故答案為：

9

4

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及點到直線的距離的計算，同時考查了分析求解的能力，屬于中檔題．