Question

熱心支持教育事業(yè)的李先生雖然并不富裕，但每年都要為山區(qū)小學(xué)捐款．今年打算用2000元購(gòu)買(mǎi)單價(jià)為50元的桌子和20元的椅子，希望桌椅的數(shù)量之和盡可能多，但椅子數(shù)不能少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍，問(wèn)桌子、椅子各買(mǎi)多少?gòu)埐藕线m？

Answer 1

分析：設(shè)桌子、椅子各買(mǎi)x張和y張，則所買(mǎi)桌椅的總數(shù)為z=x+y．依題意得不等式組  

x≤y y≤1.5x 50x+20y≤2000

，所表示的平面區(qū)域是以A（

200

7

， 

200

7

）、B（25， 

75

2

）、O（0，0）為頂點(diǎn)的△AOB的邊界及其內(nèi)部，作直線l₀：y=-x．由圖形可知，把直線l₀平移至過(guò)點(diǎn)B（25， 

75

2

）時(shí)，z取最大值．

解答：解：設(shè)桌子、椅子各買(mǎi)x張和y張，則所買(mǎi)桌椅的總數(shù)為z=x+y．
依題意得不等式組  

x≤y y≤1.5x 50x+20y≤2000

其中x，y∈N₊．…（4分）
由

y=x 50x+20y=2000

解得

x= 200 7 y= 200 7 .

由

y=1.5x 50x+20y=2000

解得

x=25 y= 75 2 .

…（6分）
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

200

7

， 

200

7

），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（25， 

75

2

），
則前面的不等式組所表示的平面區(qū)域是以A（

200

7

， 

200

7

）、
B（25， 

75

2

）、O（0，0）為頂點(diǎn)的△AOB的邊界及其內(nèi)部（如圖中陰影所示）．                           …（9分）
令z=0，得 x+y=0，即 y=-x．作直線l₀：y=-x．由圖形可知，把直線l₀平移至過(guò)點(diǎn)B（25， 

75

2

）時(shí)，亦即x=25，y=

75

2

時(shí)，z取最大值．
因?yàn)?nbsp;x，y∈N₊，所以x=25，y=37時(shí)，z取最大值．
故買(mǎi)桌子25張，椅子37張較為合適．                                                       …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查不等式和線性規(guī)劃等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．