Question

某商場準備在五一勞動節期間舉行促銷活動，根據市場調查，該商場決定從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品進行促銷活動.
（Ⅰ）試求選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率；
（Ⅱ）商場對選出的A商品采用的促銷方案是有獎銷售，即在該商品現價的基礎上將價格提高90元，同時允許顧客有3次抽獎的機會，若中獎，則每次中獎都可獲得一定數額的獎金.假設顧客每次抽獎時獲獎與否是等可能的，請問：商場應將中獎獎金數額最高定為多少元，才能使促銷方案對自己有利？

Answer 1

（Ⅰ）P=1-.
（Ⅱ）要使促銷方案對商場有利，應使顧客獲獎獎金數的期望值不大于商場的提價數額，因此應有1.5x≤90,所以x≤60，故商場應將中獎獎金數額最高定為60元，才能使促銷方案對自己有利.

解析試題分析：（Ⅰ）從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中，選出3種商品，一共可以有種不同的選法. 選出的3種商品中，沒有日用商品的選法有種，所以選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率為P=1-=1-.
（Ⅱ）假設商場將中獎獎金數額定為x元，則顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額是一隨機變量ξ,其所有可能的取值為，0，x,2x,3x.
ξ=0時表示顧客在三次抽獎中都沒有獲獎，所以P（ξ=0）=()³=,
同理可得P(ξ=x)=()()²=,
P(ξ=2x)=()²()=,P(ξ=3x)=()³=.
于是顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的期望是
Eξ=0×+x·+2x·+3x·=1.5x.
要使促銷方案對商場有利，應使顧客獲獎獎金數的期望值不大于商場的提價數額，因此應有1.5x≤90,所以x≤60，故商場應將中獎獎金數額最高定為60元，才能使促銷方案對自己有利.
考點：古典概型概率的計算，互斥（對立）事件的概率計算，數學期望的應用。
點評：中檔題，本題綜合性較強，綜合考查古典概型概率的計算，互斥（對立）事件的概率計算，數學期望的應用，及利用數學知識解決實際問題的能力。求出顧客在三次抽獎中所獲得的獎金總額的期望值，與商場的提價數額比較，即可求得結論。