Question

p：?x₀∈R，使得ax02-2x0-1＞0成立；q：方程x²+（a-3）x+a=0有兩個不相等正實根；
（1）寫出￢p；
（2）若命題￢p為真命題，求實數a的取值范圍；
（3）若命題“p或q”為真命題，且“p且q”為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）p：?x₀∈R，使得ax02-2x0-1＞0成立；∴￢p?x∈R，ax²-2x-1≤0成立．
（2）a≥0時ax²-2x-1≤0不恒成立．
由

a＜0 △≤0

，即

a＜0 4+4a≤0

，解得a≤-1．
∴實數a的取值范圍：（-∞，-1]．
（3）設方程x²+（a-3）x+a=0兩個不相等正實根為x₁、x₂．
命題q為真?

△＞0 x1+x2＞0 x1x2＞0

?

(a-3)2-4a＞0 1 2 (3-a)＞0 1 2 a＞0

解得0＜a＜1．
由命題“p或q”為真，且“p且q”為假，得命題p、q一真一假
①當p真q假時，則

a＞-1 a≤0或a≥1

得-1＜a≤0或a≥1
②當p假q真時，則

a≤-1 0＜a＜1

無解；
∴實數a的取值范圍是-1＜a≤0或a≥1．