Question

已知曲線C：y=

1

3

x3-x2-4x+1，直線l：x+y+2k-1=0，當x∈[-3，3]時，直線l 恒在曲線C的上方，則實數k的取值范圍是（　　）

• A、k＞-

  5

  6

• B、k＜-

  5

  6

• C、K＜

  3

  4

• D、K＞

  3

  4

Answer 1

分析：將已知條件當x∈[-3，3]時，直線l 恒在曲線C的上方，等價于x在（-3，3）內（-x-2k+1）-

1

3

x3-x2-4x+1＞0恒成立，構造函數，通過求導數，判斷出函數的單調性，進一步求出函數的最值．

解答：解：命題等價于x在（-3，3）內，
（-x-2k+1）-（

1

3

x3-x2-4x+1）＞0恒成立
即k＜-

1

6

x3+

1

2

x2+

3

2

x，
設y=-

1

6

x3+

1

2

x2+

3

2

x，
y'=-

1

2

x2+x+

3

2

=

1

2

（3-x）（1+x）
所以函數y=-

1

6

x3+

1

2

x2+

3

2

x，
在[-3，-1）內y遞減，（-1，3]內遞增
所以x=-1，y取最小值-

5

6

所以k＜-

5

6

故選B．

點評：求函數在閉區間上的最值，一般的方法是求出函數的導函數，令導函數為0，判斷出根左右兩邊的導函數值，求出函數的極值及區間兩個端點處的函數值，選出最值．