Question

已知命題p：函數f（x）=x²+ax-2在[-1，1]內有且僅有一個零點．命題q：x²+3（a+1）x+2≤0在區(qū)間[

1

2

，

3

2

]內恒成立．若命題“p且q”是假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：由命題p，得a≤-1，或a≥1．由命題q得a≤-

5

2

．由命題“p且q”是假命題，p真q假，或p假q真．由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：在命題p中，若a=0，則不合題意，
∴

a≠0 f(-1)•f(1)=(1-a-2)(1+a-2)≤0

，
解得a≤-1，或a≥1．
在命題q中，∵x∈[

1

2

，

3

2

]，∴3（a+1）≤-（x+

2

x

）在[

1

2

，

3

2

]上恒成立．
∴（x+

1

x

）_max=

9

2

，故只需3（a+1）≤-

9

2

即可，解得a≤-

5

2

．
∵命題“p且q”是假命題，
∴p真q假，或p假q真，或p、q均為假命題，
當p真q假時，-

5

2

＜a≤-1，或a≥1，
當p假q真時，a∈∅．
當p、q均為假命題時，有-1＜a＜1，
故實數a的取值范圍{a|a＞-

5

2

}．

點評：本題考查命題的真假判斷，解題時要認真審題，仔細解答，注意函數性質的靈活運用．