Question

（2013•臨沂一模）有下列四個命題：
p₁：?x，y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；
p₂：已知a＞0，b＞0，若a+b=1，則

1

a

+

4

b

的最大值是9；
p₃：直線ax+y+2a-1=0過定點（0，-l）；
p₄：區間[-

3

8

π，

π

8

]是y=2sin(2x+

π

4

)的一個單調區間．
其中真命題是（　　）

A．p₁，p₄

B．p₂，p₃

C．p₂，p₄

D．p₃，p₄

Answer 1

分析：令當x=y=0，可以判斷p₁的真假；由基本不等式，可以判斷p₂的真假；由直線過恒點時，提取參數后，系數為0，求出直線所過定點，可以判斷p₃的真假；根據正弦型函數的圖象和性質，求出函數的單調區間可以判斷p₄的真假；

解答：解：當x=y=0時，sin（x-y）=sinx-siny成立，故p₁為真命題；
當a＞0，b＞0時，

1

a

+

4

b

=（

1

a

+

4

b

）（a+b）=1+4+（

b

a

+

4a

b

）≥5+2

b a • 4a b

=5+4=9，故

1

a

+

4

b

的最小值是9，故p₂為假命題；
由ax+y+2a-1=（x+2）a+y-1=0，當x=-2，y=1時恒成立，故直線ax+y+2a-1=0過定點（-2，l），故p₃為假命題；
由2x+

π

4

∈[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]得x∈[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z，函數y=2sin(2x+

π

4

)的單調區間為∈[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z，當k=-1時，區間[-

3

8

π，

π

8

]是y=2sin(2x+

π

4

)的一個單調區間，故p₄為真命題；
故選A

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了三角函數值，基本不等式，直線過定點，正弦型函數的單調性，熟練掌握相關基本知識點是解答的關鍵．