Question

小明參加一次智力問答比賽，比賽共設三關．第一、二關各有兩個問題，兩個問題全答對，可進入下一關．第三關有三個問題，只要答對其中兩個問題，則闖關成功．每過一關可一次性獲得價值分別為100、300、500元的獎勵．小明對三關中每個問題回答正確的概率依次為

4

5

、

3

4

、

2

3

，且每個問題回答正確與否相互獨立．
（1）求小明過第一關但未過第二關的概率；
（2）用ξ表示小明所獲得獎品的價值，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）由小明對三關中每個問題回答正確的概率依次為

4

5

、

3

4

、

2

3

，且每個問題回答正確與否相互獨立．故小明過第一關但未過第二關的概率P=(

4

5

)2•[1-(

3

4

)2]，由此能求出結果．
（2）由題設ξ=0，100，400，900，結合題設條件分別求出P（ξ=0），P（ξ=100）和P（ξ=400）的值由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）∵小明對三關中每個問題回答正確的概率依次為

4

5

、

3

4

、

2

3

，
且每個問題回答正確與否相互獨立．
小明過第一關但未過第二關的概率：
P=(

4

5

)2•[1-(

3

4

)2]
=

25

16

×

7

16

=

7

25

．…（5分）
（2）ξ=0，100，400，900，
P（ξ=0）=1-(

4

5

)2=

9

25

，
P（ξ=100）=

7

25

，
P（ξ=400）=(

4

5

)2•(

3

4

)3•[(

1

3

)3+

C

1 3

•

2

3

•(

1

3

)2]=

7

75

，
P（ξ=900）=(

4

5

)2•(

3

4

)2•[

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

+(

2

3

)3]=

4

15

，
∴ξ的分布列

ζ	0	100	400	900
P	9 25	7 25	7 75	4 15

∴Eξ=0×

9

25

+100×

7

25

+400×

7

75

+900×

4

15

=

916

3

．

點評：本題考查概率的求法，離散型隨機變量的分布列的方差，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征．