Question

記具有如下性質的函數的集合為M：對任意的x₁、x₂∈R，若x₁²＜x₂²，則f（x₁）＜f（x₂），現給定函數
①f（x）=x⁴+x²+1，②f（x）=x³+x²+1，③f（x）=1-x²，④f（x）=x²+2^|x|．
則上述函數中，屬于集合M的函數序號是

 

．

Answer 1

分析：由已知中函數的集合為M：對任意的x₁、x₂∈R，若x₁²＜x₂²，則f（x₁）＜f（x₂），我們可得滿足條件的函數在區間（-∞，0）上單調遞減，在區間（0，+∞）上單調遞增，逐一分析題目中四個函數的單調性，比照后，即可得到答案．

解答：解：對任意的x₁、x₂∈R，若x₁²＜x₂²，則f（x₁）＜f（x₂），
則函數在區間（-∞，0）上單調遞減，在區間（0，+∞）上單調遞增
①中，由f（x）=x⁴+x²+1，得f′（x）=4x³+2x，當x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0，當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，故①中函數符合條件；
②中，由f（x）=x³+x²+1，得f′（x）=3x²+2x，當x∈（-∞，0）時，f′（x）符號不確定，故②中函數不符合條件；
③中，由f（x）=1-x²，得f′（x）=-2x，當x∈（-∞，0）時，f′（x）＞0，故③中函數不符合條件；
④f（x）=x²+2^|x|，當x∈（0，+∞）時，f（x）=x²+2^x為增函數，當x∈（-∞，0）時，f（x）=x²+

1

2

^x為減函數，故④中函數符合條件；
故答案為：①④

點評：本題考查的知識點是元素與集合關系的判斷，其中正確理解集合中元素所滿足的性質，并將其轉化為熟知的性質，如本題中將對任意的x₁、x₂∈R，若x₁²＜x₂²，則f（x₁）＜f（x₂），轉化為函數在區間（-∞，0）上單調遞減，在區間（0，+∞）上單調遞增，是解答本題的關鍵．