Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的兩個焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）．且c-a=2-

3

．又雙曲線C上的任意一點E滿足||EF1|-|EF2||=2

3

（1）求雙曲線C的方程；
（2）若雙曲線C上的點P滿足

PF1

•

PF2

=1，求|PF1|•|PF2|的值；
（3）若直線y=kx+m（k≠0，m≠0）與雙曲線C交于不同兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過點A（0，-1），求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由||EF1|-|EF2||=2

3

?a=

3

，由此能導出雙曲線C的方程．
（2）設|

PF1

|=r1，|

PF2

|=r2，不妨設r1＞r2＞0，∠F1PF2=θ．再結合余弦定理由

PF1

•

PF2

=1，求|PF1|•|PF2|的值．
（3）聯立

y=kx+m x2 3 -y2=1

，整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0，由直線與雙曲線有兩個不同交點，知1-3k²≠0且△=12（m²+1-3k²）＞0．由此能導出m的取值范圍．

解答：解：（1）由||EF1|-|EF2||=2

3

?a=

3

∵c-a=2- 3 ，  &∴c=2． ∴b2=c2-a2=1.

∴雙曲線C的方程為

x2

3

-y2=1．
（2）設|

PF1

|=r1，|

PF2

|=r2，不妨設r1＞r2＞0，∠F1PF2=θ．

由 PF1 • PF2 =1?r1r2cosθ=1. 又r1-r2=2 3 ? r 2 1 + r 2 2 -2r1r2=12. 在△PF1F2中，由余弦定理得16= r 2 1 + r 2 2 -2r1r2cosθ. ∴r1 r   2 =3.

∴|PF₁|•|PF₂|=3
（3）聯立

y=kx+m x2 3 -y2=1

，整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0
∵直線與雙曲線有兩個不同交點，
∴1-3k²≠0且△=12（m²+1-3k²）＞0．①

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點為B(x0，y0)，

，∴kAB=

m 1-3k2 +1

3km 1-3k2

=-

1

k

(k≠0，m≠0).
整理得3k²=4m+1．②
將②式代入①式，得m²-4m＞0，∴m＞4或m＜0．
又3k2=4m+1＞0(k≠0)即m＞-

1

4

．
∴m的取值范圍為m＞4或-

1

4

＜m＜0．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，計算量較大，比較繁瑣，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，提高解題能力和解題技巧．