Question

【題目】對于函數，若，則稱為的“不動點”；若，則稱為的“穩定點”．函數的“不動點”和“穩定點”的集合分別記為和，即，．

（）設函數，求集合和．

（）求證：．

（）設函數，且，求證：．

Answer 1

【答案】（），．

（）證明見解析．

（）證明見解析．

【解析】

（）根據函數定義，求得不動點的表達式，根據方程即可求得集合A和集合B。

（）討論當集合A為和不為空集兩種情況下B集合的關系，即可證明集合A與集合B的關系。

（）因為集合A為，所以分類討論與兩種不同條件下B集合的情況，即可得到B集合也為。

（）由，

得，

解得，

由，得，

解得．

∴，．

（）若，

則成立，

若，

設為中任意一個元素，

則有，

∴，

故，

∴．

（）由，得方程無實數解，

∴，

①當時，

的圖象在軸的上方，

所以任意，恒成立，

即對于任意，

恒成立，

對于，則有成立，

∴對于，恒成立，

則．

②當時，

的圖象在軸的下方，

所以任意，恒成立，

即對于，恒成立，

對于實數，則有成立，

所以對于任意，恒成立，

則．

綜上知，對于，

當時，．