Question

設關于x的方程x²-（m+i）x-（2+i）=0，m是實數；
（1）若上述方程有實根，求出其實根以及此時實數m的值；
（2）證明：對任意實數m，方程不存在純虛數根．

Answer 1

分析：（1）若上述方程有實根，由復數相等的條件可以得到關于實數x與實數m的方程，解出即可
（2）可用反證法證明之，假設存在純虛根，解出矛盾即說明不存在純虛根．

解答：解：（1）若方程有實根，將方程變為i（-x-1）+x²-mx-2=0由此得

-x-1=0 x 2-mx-2=0

解得

x=-1 m=1

（2）證明：假設存在純虛根，令x=bi，b≠0
則有-b²-mbi+b-2-i=0，即有

-b2+b-2=0   ① -mb-1=0      ②

由于①無解
故假設不成立，對任意實數m，方程不存在純虛數根．

點評：本題考查復數的相等等基本概念，求解本題關鍵是掌握好復數相等的充要條件，以及反證法的思想．