Question

在中央電視臺“開心辭典”欄目有一道試題，給出了文房四寶（宣筆、徽墨、宣紙、歙硯）和它們的原產地（記為A、B、C、D），要求挑戰者把文房四寶和對應的產地在答題板上用筆一對一地連起來，每正確連對一組得2分，連錯不得分，得分4分及以上可以參加下一關的挑戰．
（1）求挑戰者得2分的概率．
（2）求挑戰者所得分數ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

解：（1）記挑戰者得2分為事件E，則從4對文房四寶和對應的產地完全正確的選取一對，而其余三隊完全配對錯誤的方法只有2種，故P（E）==．
（2）挑戰者所得分數ξ可取0，2，4，8．
對產地A，B，C，D的全排列共有4！=24，其中①文房四寶和對應的產地完全正確一對一地連起來只有一種方法，即得8分的P（ξ=8）=；
②文房四寶和對應的產地只有2對正確地連起來的方法共有=6種，故P（ξ=4）==；
③由（1）可知：P（ξ=2）=；
④由概率的規范性可得P（ξ=0）=1-P（ξ=2）-P（ξ=4）-P（ξ=8）==．
故其分布列如下：

ξ	0	2	4	8
P

∴Eξ=0=2．
分析：（1）從4對文房四寶和對應的產地完全正確的選取一對，而其余三隊完全配對錯誤的方法只有2種，據此利用古典概型的概率計算公式即可得出；
（2）利用排列的計算公式、分類討論、概率的性質、數學期望即可得出．
點評：熟練掌握古典概型的概率計算公式、排列的計算公式、分類討論、概率的性質、數學期望是解題的關鍵．