Question

【題目】設橢圓的右焦點為，過的直線與橢圓交于兩點，已知點的坐標為.

（Ⅰ）當與軸垂直時，求點A、B的坐標及的值

（Ⅱ）設為坐標原點，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）A或，=（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）把代入橢圓方程求出坐標，可得；

（Ⅱ）當l與x軸重合，l與x軸垂直時易證明，當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為，，由直線方程與橢圓方程聯立，消元整理后應用韋達定理得，然后用計算結果為0，結論得證．

解：（Ⅰ）由已知得，l的方程為x=1.代入橢圓方程得，，

所以A或，=

（Ⅱ）當l與x軸重合時，.

當l與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以.

當l與x軸不重合也不垂直時，設l的方程為，，

則，直線MA，MB的斜率之和為.

由得.

將代入得

.

所以， .

則.

從而，故MA，MB的傾斜角互補，所以.

綜上，.