Question

本題主要考查拋物線的標準方程、簡單的幾何性質等基礎知識，考查運算求解、推理論證的能力．
如圖，在平面直角坐標系xOy，拋物線的頂點在原點，焦點為F（1，0）．過拋物線在x軸上方的不同兩點A、B，作拋物線的切線AC、BD，與x軸分別交于C、D兩點，且AC與BD交于點M，直線AD與直線BC交于點N．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）求證：MN⊥x軸；
（3）若直線MN與x軸的交點恰為F（1，0），求證：直線AB過定點．

Answer 1

【答案】分析：（1）設拋物線的標準方程為y²=2px（p＞0），利用焦點為F（1，0），可求拋物線的標準方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出切線AC、BD的方程，求得M的橫坐標，求出直線AD、BC的方程，求得N的橫坐標，即可證得結論；
（3）求得A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都滿足方程yy=2（1+x），即直線AB的方程為yy=2（1+x），從而可得結論．
解答：（1）解：由題意，可設拋物線的標準方程為y²=2px（p＞0），則，即p=2．
所以拋物線的標準方程為y²=4x．…（3分）
（2）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁＞0，y₂＞0．
由y²=4x（y＞0），得y=2，所以y′=．
所以切線AC的方程為y-y₁=（x-x₁），即y-y₁=（x-x₁）．
整理，得yy₁=2（x+x₁），①且C點坐標為（-x₁，0）．
同理得切線BD的方程為yy₂=2（x+x₂），②且D點坐標為（-x₂，0）．
由①②消去y，得．
又直線AD的方程為，③
直線BC的方程為．  ④
由③④消去y，得．
所以x_M=x_N，即MN⊥x軸．
（3）證明：由題意，設M（1，y），代入（1）中的①②，得yy₁=2（1+x₁），yy₂=2（1+x₂）．
所以A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都滿足方程yy=2（1+x）．
所以直線AB的方程為yy=2（1+x）．
故直線AB過定點（-1，0）．
點評：本題主要考查拋物線的標準方程、簡單的幾何性質等基礎知識，考查運算求解、推理論證的能力