Question

已知曲線C的方程為y²=4x（x＞0），曲線E是以F₁（-1，0）、F₂（1，0）為焦點的橢圓，點P為曲線C與曲線E在第一象限的交點，且|PF2|=

5

3

．
（1）求曲線E的標準方程；
（2）直線l與橢圓E相交于A，B兩點，若AB的中點M在曲線C上，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，c=1，|PF2|=

5

3

，利用拋物線的定義可得xP=

2

3

，由此能求出曲線E的標準方程．
（2）設直線l與橢圓E交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中點F₂的坐標為（x₀，y₀），設直線方程為y=kx+m（k≠0，m≠0）與

x2

4

+

y2

3

=1聯立，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由△＞0，得4k²-m²+3＞0，由韋達定理得AB的中點（-

4km

3+4k2

，

-4k2+m

3+4k2

+m），代入曲線C的方程為y²=4x（x＞0），得9m=-16k（3+4k²），由此能求出直線l的斜率k的取值范圍．

解答：解：（1）依題意，c=1，|PF2|=

5

3

，
利用拋物線的定義得xP=

2

3

，
∴P點的坐標為(

2

3

 ， 

2 6

3

)…（2分）
|PF1|=

7

3

，又由橢圓定義得2a=|PF1|+|PF2|=

7

3

+

5

3

=4，a=2．…（4分）
∴b²=a²-c²=3，
所以曲線E的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）
（2）設直線l與橢圓E交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中點F₂的坐標為（x₀，y₀），
設直線方程為y=kx+m（k≠0，m≠0）
與

x2

4

+

y2

3

=1聯立，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由△＞0，得4k²-m²+3＞0，①…（8分）
由韋達定理得x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，
∴x₀=-

4km

3+4k2

，y0=

-4k2m

3+4k2

+m，
將中點（-

4km

3+4k2

，

-4k2m

3+4k2

+m）代入曲線C的方程為y²=4x（x＞0），
整理，得9m=-16k（3+4k²），②…（10分）
將②代入①得16²k²（3+4k²）＜81
令∵x∈（1，e^b）t=4k²（t＞0），
則64t²+192t-81＜0，∴0＜t＜

3

8

，
∴-

6

8

＜k＜

6

8

．…（12分）

點評：本題考查曲線的標準方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．