Question

某項實驗研究需要一種高標準的產品，對這種產品要檢測A、B兩項技術指標，各項技術指標達標與否互不影響，若有且僅有一項技術指標達標的概率為

5

12

，至少一項技術指標達標的概率為

11

12

，按要求只有兩項技術指標都達標的產品才能用于該實驗（稱為合格品），
（Ⅰ）設A、B兩項技術指標達標的概率分別為p₁、p₂，求一件產品經過檢測為合格品的概率是多少？
（Ⅱ）若進行該項實驗需要這種產品100個，為保證實驗的順利進行，則至少要購進多少件這樣的產品？

Answer 1

分析：（Ⅰ）有且僅有一項技術指標達標的概率為

5

12

，故有p1(1-p2)+(1-p1)p2=

5

12

，又至少一項技術指標達標的概率為

11

12

，故有1-(1-p2)(1-p1)=

11

12

．由此能求出一件產品經過檢測為合格品的概率．
（Ⅱ）設需要購進的產品數為n，且n個產品中合格品的個數為ξ，依題意知ξ～B(n，

1

2

)，所以Eξ=

1

2

n，為保證實驗的順利進行，則Eξ≥100．由此能求出至少需要購進這種產品的件數．

解答：解：（Ⅰ）∵有且僅有一項技術指標達標的概率為

5

12

∴有p1(1-p2)+(1-p1)p2=

5

12

…①
又至少一項技術指標達標的概率為

11

12

∴有1-(1-p2)(1-p1)=

11

12

…②
聯立①、②得

p1+p2-2p1p2= 5 12 p1+p2-p1p2= 11 12

解得：p1p2=

1

2

∴一件產品經過檢測為合格品的概率為p1p2=

1

2

（Ⅱ）設需要購進的產品數為n，且n個產品中合格品的個數為ξ，
依題意知ξ～B(n，

1

2

)，
∴Eξ=

1

2

n，
為保證實驗的順利進行，則Eξ≥100，
即

1

2

n≥100，解得：n≥200，
故至少需要購進這種產品200件．

點評：本題考查概率的應用，考查學生的運算能力，考查學生探究研究問題的能力，解題時要認真審題，理解古典概型的特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性，體現了化歸的重要思想．本題對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．