Question

如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，以AC為軸翻折半平面，使二平面角B—AC—D為120°，求：(1)翻折后，D到平面ABC的距離；(2)BD和AC所成的角.

Answer 1

解析:

研究翻折問題，通常要畫出翻折前的平面圖形和翻折后的空間圖形，對應點的字母要相同.

解  分別過B、D作AC的垂線，垂足是E、F，過F作FB′∥BE，過B作BB′∥AC，交點B′，則四邊形EFB′B是矩形.

∵AC⊥DF，AC⊥B′F，∴AC⊥平面B′FD，即∠DF′B就是二面角B—AC—D的平面角，亦即∠DFB′＝120°.

過D作DO⊥B′F，垂足為O.∵DO平面DFB′，AC⊥平面DFB′.∴DO⊥AF，DO⊥平面ABC.

在RtΔADC中，CD＝2，AD＝2，∴DF＝，OD＝DF·sin60°＝.

(2)在ΔDFB′中，DB′＝＝3.

又由(1)可知，AC∥BB′，AC⊥平面DFB′⊥平面DFB′.∴BB′⊥平面DFB′，∴ΔDB     B′是直角三角形，又BB′＝EF＝2.∴tan∠DBB′＝.

∵AC∥BB′,∴AC與BD所成的角就是∠DBB′，即為arctan.

說明  處理翻折問題，只要過不在棱上的點作棱的垂直相交的線段，就可以化成基本題型處理，本題也可以這樣考慮，即利用異面直線DF、BE上兩點B、D間的距離，先求出BD²＝EF²+DF²+BE²-2DF·BE·cos120°＝13，從而得出∠DBB′＝arccos.