Question

設數列{a_n}滿足：．
（I）證明：對n∈N^*恒成立；
（II）令，判斷b_n與b_n+1的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）證法一：用數學歸納法進行證明．
證法二：由遞推公式得，，由此可知．
（2）解法一：由
=可知b_n+1＜b_n成立．
解法二：由==
=，可知b_n+1＜b_n．
解答：解：（1）證法一：當n=1時，，不等式成立，
假設n=k時，成立（2分），
當n=k+1時，．（5分）
∴n=k+1時，時成立
綜上由數學歸納法可知，對一切正整數成立（6分）
證法二：由遞推公式得，（2分）
上述各式相加并化簡得=2n+2＞2n+1+1+1（n≥2）（4分）
又n=1時，顯然成立，故（6分）
（2）解法一：（8分）
=（10分）
又顯然b_n＞0（n∈N^*），故b_n+1＜b_n成立（12分）
解法二：=（8分）
=（10分）
=
故b_n+1²＜b_n²，因此b_n+1＜b_n（12分）
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意公式有靈活運用．