Question

數列{a_n}滿足an+2-an+1=an+1-an=a1+1=1(n∈N*)，當x∈[a_n，a_n+1）時，f（x）=a_n-2，則方程2^f（x）=x的根的個數為（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

∵an+2-an+1=an+1-an=a1+1=1(n∈N*)，
∴數列{a_n}是首項為0，公差為1的等差數列
故a_n=n-1
又∵當x∈[n-1，n）時，f（x）=n-3，
當n=1時，x∈[0，1）時，f（x）=-2，
當n=2時，x∈[1，2）時，f（x）=-1，
當n=1時，x∈[2，3）時，f（x）=0，
當n=1時，x∈[3，4）時，f（x）=1，
…
又由方程2^f（x）=x的根
即為f（x）=log₂x的根
在同一坐標系中畫出函數y=f（x）和y=log₂x的圖象如下圖，

由圖可得y=f（x）和y=log₂x的圖象有兩個交點
故方程2^f（x）=x的根的個數為2個
故選C