Question

已知函數f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求函數f（x）的單調遞增區間與單調遞減區間？
（3）求函數f（x）在閉區間[-2，+2]上的最大值與最小值？

Answer 1

分析：（1）已知函數f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，即f（1）=-1，f′（1）=0，所以先求導函數，再代入列方程組，即可解得a、b的值
（2）分別解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可得函數f（x）的單調增區間與單調遞減區間
（3）由（2）可得函數f（x）在[-2，2]上的單調性，從而求出函數在[-2，2]上的極大值和極小值，最后比較端點值f（-2），f（2）與極值的大小確定函數在[-2，2]上的最大值與最小值

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²-6ax+2b，函數f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，
∴f（1）=-1，f′（1）=0
∴1-3a+2b=-1，3-6a+2b=0
解得a=

1

3

，b=-

1

2

∴f（x）=x³-x²-x
（2）∵f′（x）=3x²-2x-1
∴由f′（x）=3x²-2x-1＞0得x∈(-∞，-

1

3

)∪(1，+∞)
由f′（x）=3x²-2x-1＜0得x∈(-

1

3

，1)
∴函數f（x）的單調增區間為：(-∞，-

1

3

)， (1，+∞)，減區間為：(-

1

3

，1)
（3）由（2）可得函數f（x）在[-2，-

1

3

）上是增函數，在[-

1

3

，1）上是減函數，在[1，2]上是增函數
且f（-2）=-10，f（-

1

3

）=

5

27

，f（1）=-1，f（2）=2
∴函數f（x）在閉區間[-2，+2]上的最大值f（2）=2
最小值為f（-2）=-10

點評：本題考察了導數在求函數極值中的應用，利用導數求函數的單調區間，及利用導數求函數在閉區間上的最值的方法