Question

（本小題滿分14分）

如圖，已知橢圓過(guò)點(diǎn)（1，），離心率為 ，左右焦點(diǎn)分別為.點(diǎn)為直線：上且不在軸上的任意一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線、斜率分別為.

（ⅰ）證明：

（ⅱ )問(wèn)直線上是否存在一點(diǎn)，使直線的斜率滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（ Ⅱ ）（ⅰ）證明見(jiàn)解析

（ⅱ ) 滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為，（，）。

【解析】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，直線的斜率等知識(shí)，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力以及數(shù)形結(jié)合、分類討論數(shù)學(xué)思想，。其中問(wèn)題（Ⅱ）是一個(gè)開(kāi)放性的探索問(wèn)題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

【答案】

（Ⅰ）解：因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)（1，），e=，

         所以，.

又，

所以

故所求橢圓方程為 .

（II）(1)證明：

方法一：由（1,0），（1,0）,PF_1,PF₂的斜率分別為,，且點(diǎn)p不在 x軸上。

所以,

有直線,的方程分別為,

聯(lián)立方程解得

所以

由于點(diǎn)P在直線上

所以

因此

即，結(jié)論成立

方法二:

因?yàn)辄c(diǎn)P不在x軸上，所以

又

所以

因此結(jié)論成立---------------------------------------------------

 

（ⅱ）解：設(shè)，，，.

      聯(lián)立直線與橢圓的方程得

      化簡(jiǎn)得

      因此 

      由于  的斜率存在，

      所以  ，因此

       因此

                   

相似地可以得到

故

若，須有=0或=1.

① 當(dāng)=0時(shí)，結(jié)合（ⅰ）的結(jié)論，可得=－2，所以解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）；

② 當(dāng)=1時(shí)，結(jié)合（ⅰ）的結(jié)論，可得=3或=－1（此時(shí)=－1，不滿足≠，舍去 ），此時(shí)直線CD的方程為，聯(lián)立方程得，

因此   .

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為，（，）。