Question

【題目】如圖，在四棱錐中平面，且，

．

（1）求證：；

（2）在線段上，是否存在一點，使得二面角的大小為45°，如果存在，求與平面所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）是線段的中點，

【解析】

試題分析：（1）證明線線垂直，一般利用線面垂直性質定理，即從線面垂直出發給予證明，而線面垂直的證明，需要利用線面垂直判定定理：先根據平幾知識尋找線線垂直，如由等腰三角形性質得，又由條件平面，得線線垂直：，這樣就轉化為線面垂直平面，即得（2）研究二面角大小，一般利用空間向量比較直接：先根據題意建立恰當的直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組求各面法向量，根據向量數量積求兩法向量夾角，最后根據二面角與法向量夾角關系列方程組，解出點坐標，確定點位置，再利用線面角與向量夾角互余關系求與平面所成角的正弦值

試題解析：

（1）證明：

如圖，由已知得四邊形是直角梯形，

由已知，

可得是等腰直角三角形，即，

又平面，則，所以平面，所以．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）存在． 法一：（猜證法）

觀察圖形特點，點可能是線段的中點，

下面證明當是線段的中點時，二面角的大小為45°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

過點作于，則，則平面．

過點作于，連接，

則是二面角的平面角，

因為是線段的中點，則，在四邊形求得，則．

在三棱錐中，可得，設點到平面的距離是，，

則，解得

在中，可得，

設與平面所成的角為，則．

法二：（作圖法）

過點作于，則，則平面，

過點作于，連接，則是二面角的平面角．

若，則，又，易求得，

即是線段的中點．．．

（以下同解法一）

法三：（向量計算法）

建立如圖所示空間直角坐標系，

則．

設，則的坐標為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

設是平面的一個法向量，則

，得，則可取．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

又是平面的一個法向量，

所以，

此時平面的一個法向量可取，

與平面所成的角為，則．．．．．．．．．．．．．．12分