Question

【題目】數列的數列的首項，前n項和為，若數列滿足：對任意正整數n，k，當時，總成立，則稱數列是“數列”

（1）若是公比為2的等比數列，試判斷是否為“”數列？

（2）若是公差為d的等差數列，且是“數列”，求實數d的值；

（3）若數列既是“”，又是“”，求證：數列為等差數列.

Answer 1

【答案】（1）不是“”數列；（2）；（3）證明見解析；

【解析】

（1）假設是數列，由已知，可得，當時，，，，故可判斷不是為為數列；

（2）設的公差為d，則，由題意，即，解方程即可；

（3）由數列既是“數列”，又是“數列”，可得，，進一步推理可得成等差數列，成等差數列，從而即成等差數列.

（1）因為，，所以，

假設是數列，

則當時，則成立，

但時，，，，

所以假設不成立，不是為為數列.

（2）設的公差為d，則，

因為是“數列”，

則，

即，

所以，即.

（3）數列既是“數列”，又是“數列”，

所以

②-①得：，，

④-③得：，

又③-①得：，

④-②得：，

所以成等差數列，設公差為，

成等差數列，設公差為，

因此，

所以對恒成立，

即成等差數列，設公差為d，

在（1）（2）中分別取，得：

，解得，，所以.