Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的倍.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設(shè)的斜率為，在橢圓上是否存在一點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在點(diǎn)，使成立．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓定義得的周長(zhǎng)為,即，解得橢圓的離心率；（2）設(shè)， ， ,則由得代入等式,并化簡(jiǎn)得．利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組,結(jié)合韋達(dá)定理得， ．代入解得矛盾,故不存在.

試題解析：解：（Ⅰ）∵橢圓： 的焦點(diǎn)為， ，

過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，

的周長(zhǎng)為短軸長(zhǎng)的倍， 的周長(zhǎng)為．

∴依題意知，即．

∴橢圓的離心率．

（Ⅱ）設(shè)橢圓方程為，

直線的方程為，

代入橢圓方程得．

設(shè)， ，

則， ．

設(shè)，則．①

由得

代入①得．

因?yàn)?/span>， ，

所以．②

而

．

從而②式不成立．

故不存在點(diǎn)，使成立．