Question

（2012•肇慶二模）數列{a_n}的前n項和記為S_n，點（n，S_n）在曲線f（x）=x²-4x上（x∈N⁺）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=(an+5)•2n-1，求數列{b_n}的前n項和T_n的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得Sn=n2-4n，利用遞推公式當n≥2時a_n=S_n-S_n-1，a₁=S₁，可求                         
（2）由bn=(an+5)•2n-1得bn=n•2n，結合數列的特點，考慮利用錯位相減可求數列的和

解答：解：（1）由點（n，S_n）在曲線f（x）=x²-4x上（x∈N⁺）知Sn=n2-4n，（1分）
當n≥2時a_n=S_n-S_n-1=n²-4n-[（n-1）²-4（n-1）]=2n-5；     （4分）
當n=1時，a₁=S₁=-3，滿足上式；                         （5分）
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2n-5（6分）
（2）由bn=(an+5)•2n-1得bn=n•2n（7分）
∴Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n①（8分）
上式兩邊乘以2，得2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)•2n+n•2n+1②（9分）
①-②得-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1（10分）
∴-Tn=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
即Tn=(n-1)•2n+1+2．（12分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式，錯位相減求解數列的和是數列求和的重要方法，要注意掌握