Question

已知離心率為的雙曲線C的中心在坐標原點，左、右焦點F₁、F₂在軸上，雙曲線C的右支上一點A使且的面積為1。(12分)

求雙曲線C的標準方程；

若直線與雙曲線C相交于E、F兩點（E、F不是左右頂點），且以EF為直徑的圓過雙曲線C的右頂點D。求證：直線過定點，并求出該定點的坐標。

Answer 1

（1）由題意設雙曲線的標準方程為，由已知得：解得………………………………………2分

∵且的面積為1

∴,

∴

∴………………………………………4分

∴雙曲線C的標準方程為。………………………………………5分

（2）設，聯立得

顯然否則直線與雙曲線C只有一個交點。

即

則……………………………8分

又

∵以EF為直徑的圓過雙曲線C的右頂點D(2,0)

∴即

∴

∴

化簡整理得

∴ ，且均滿足

當時，直線的方程為，直線過定點（2，0），與已知矛盾！

當時，直線的方程為，直線過定點（，0）

∴直線定點，定點坐標為（，0）。……………………………12分