Question

已知函數y=f（x）是定義在實數集R上的奇函數，f′（x）是f（x）的導函數，且當x＞0，f（x）+xf′（x）＞0，設a=（log 

1

2

4）f（log 

1

2

4），b=

2

f（

2

），c=（lg

1

5

）f（lg

1

5

），則a，b，c的大小關系是（　　）

A．c＞a＞b

B．c＞b＞a

C．a＞b＞c

D．a＞c＞b

Answer 1

分析：由已知想到構造函數F（x）=xf（x），求導后判斷出其單調性，然后比較lg

1

5

，

2

，log

1

2

4的絕對值的大小，最后借助于F（x）是偶函數和其單調性得到答案．

解答：解：令F（x）=xf（x），
∵函數y=f（x）是定義在實數集R上的奇函數，∴F（x）為定義在實數集上的偶函數．
由F′（x）=f（x）+xf′（x），
∵當x＞0，f（x）+xf′（x）＞0，
∴F（x）在（0，+∞）上為增函數．
∵log

1

2

4=-2，lg

1

5

=-lg5，
∴|lg

1

5

|＜|

2

|＜|log

1

2

4|．
則F(lg

1

5

)＜F(

2

)＜F(log

1

2

4)．
即a＞b＞c．
故選：C．

點評：本題考查了不等關系與不等式，考查了導數的運算法則，訓練了函數構造法，解答的關鍵是掌握偶函數的性質f（x）=f（|x|），是中檔題．