Question

設函數 

   （Ⅰ）求函數的極值點；

   （Ⅱ）當p＞0時，若對任意的x＞0，恒有，求p的取值范圍；

   （Ⅲ）證明：

Answer 1

（Ⅰ）當p>0 時，有唯一的極大值點

（Ⅱ）p的取值范圍為[1，+∞

（Ⅲ）見解析

解析:

（1），

當 上無極值點

當p>0時，令的變化情況如下表：

x	(0，)
	+	0	－
	↗	極大值	↘

從上表可以看出：當p>0 時，有唯一的極大值點 

（Ⅱ）當p>0時在處取得極大值，此極大值也是最大值，

要使恒成立，只需，      ∴

∴p的取值范圍為[1，+∞ 

（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，

∴，

∴

∴

 

 

∴結論成立