Question

已知數列{a_n}的首項a₁=a，前n項和為S_n，且-a₂，S_n，2a_n+1成等差數列．
（Ⅰ）試判斷數列{a_n}是否成等比數列，并說明理由；
（Ⅱ）若a₅=32，設b_n=log₂（a₁a₂…a_n），試求

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

的值．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由題意知2S_n=-a₂+2a_n+1，當n≥2時，2S_n-1=-a₂+2a_n，兩式相減，得2a_n=2a_n+1-2a_n，從而得到a_n+1=2a_n，當a₁=a=0時，a_n=0，{a_n}不是等比數列．當a≠0時，

an+1

an

=2，{a_n}是首項為a，公比為2的等比數列．
（Ⅱ）由a₃=32，解得a=2，所以an=2n．從而得到

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

2

1×2

+

2

2×3

+…+

2

n(n+1)

，由此利用裂項求和法能求出結果．

解答： 解：（Ⅰ）∵數列{a_n}的首項a₁=a，前n項和為S_n，且-a₂，S_n，2a_n+1成等差數列，
∴2S_n=-a₂+2a_n+1，當n≥2時，2S_n-1=-a₂+2a_n，
兩式相減，得2a_n=2a_n+1-2a_n，
∴當n≥2時，a_n+1=2a_n，
又當n=1時，2a₁=-a₂=2a₂，即a₂=2a₁，適合上式．
∴當a₁=a=0時，a_n=0，{a_n}不是等比數列．
當a≠0時，

an+1

an

=2，{a_n}是首項為a，公比為2的等比數列．
（Ⅱ）∵a₃=32，∴a≠0，此時an=a×2n-1．
∴32=a×2⁴，解得a=2，∴an=2n．
b_n=log₂（a₁a₂…a_n）=log2(2×22×…×2n)
=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

2

1×2

+

2

2×3

+…+

2

n(n+1)

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．

點評：本題考查等比數列的判斷，考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．