Question

(本小題滿分15分)已知O為坐標原點，點A、B分別在x軸，y軸上運動，且|AB|＝8，動點P滿足＝，設點P的軌跡為曲線C，定點為M(4,0)，直線PM交曲線C于另外一點Q.(1)求曲線C的方程；(2)求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

(1) ＋＝1.
(2)△OPQ的面積最大值為.

(1)設A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，
則＝(x－a，y)，＝(－x，b－y)，
∵＝，∴∴a＝x，b＝y.
又|AB|＝＝8，∴＋＝1.
∴曲線C的方程為＋＝1.
(2)由(1)可知，M(4,0)為橢圓＋＝1的右焦點，
設直線PM方程為x＝my＋4，由消去x得
(9m2＋25)y2＋72my－81＝0，
∴|yP－yQ|＝
＝.   ∴S△OPQ＝|OM||yP－yQ|＝2×
＝＝＝≤＝，
當＝，
即m＝±時，△OPQ的面積取得最大值為，此時直線方程為3x±y－12＝0.