Question

為了檢測某批棉花的質量，質檢人員隨機抽取6根，其平均纖維長度為25mm．用X_n（n=1，2，3，4，5，6）表示第n根棉花的纖維長度，且前5根棉花的纖維長度如下表：

編號n	1	2	3	4	5
Xn	20	26	22	20	22

（1）求X₆及這6根棉花的標準差s；
（2）從這6根棉花中，隨機選取2根，求至少有1根的長度在區間（20，25）內的概率．

Answer 1

分析：（（1）根據題意，由平均數公式可得

20+26+22+20+22+X6

6

=25，解可得X₆的值，由方差計算可得6個數據的方差s²，開方可得s；
（2）記至少有1根的長度在區間（20，25）內為事件A，則其對立事件

.

A

為2根的長度都不在區間（20，25）內；由列舉法可得從這6根棉花中，隨機選取2根的情況，分析可得其可能情況數目與2根的長度都不在區間（20，25）內的情況數目，由古典概型公式可得P（

.

A

），由對立事件的性質，可得P（A）．

解答：解：（1）由題意，
6根纖維的平均長度為25mm，有

1

6

（20+26+22+20+26+X₆）=25，X₆=40．
其方差s²=

1

6

[（20-25）²+（26-25）²+（22-25）²+（20-25）²+（22-25）²+（40-25）²]=49，
則s=7．
（2）根據題意，記至少有1根的長度在區間（20，25）內為事件A，則其對立事件

.

A

為2根的長度都不在區間（20，25）內；
從這6根棉花中，隨機選取2根用無序數組（X_i，X_j）（i，j=1，2，3，4，5，6，i≠j）表示，
可能出現的結果為（X₁，X₂），（X₁，X₃），（X₁，X₄），（X₁，X₅），（X₁，X₆），
（X₂，X₃），（X₂，X₄），（X₂，X₅），（X₂，X₆），（X₃，X₄），
（X₃，X₅），（X₃，X₆），（X₄，X₅），（X₄，X₆），（X₅，X₆），共15種；
2根的長度都不在區間（20，25）內的情況為
（X₁，X₂），（X₁，X₄），（X₁，X₆），（X₂，X₄），（X₂，X₆），（X₄，X₆），有6種；
2根的長度都不在區間（20，25）內概率P（

.

A

）=

6

15

=

2

5

，
至少有1根的長度在區間（20，25）內的概率為P（A）=1-

2

5

=

3

5

．

點評：本題考查平均數，標準差、方差的計算與古典概型的計算，注意區分標準差與方差的概念．