Question

（本題14分）已知函數f （x） = ax³ +x² -ax，其中a，x∈R．
（Ⅰ）若函數f （x）在區間（1，2）上不是單調函數，試求a的取值范圍；
（Ⅱ）直接寫出（不需給出運算過程）函數的單調遞減區間；
（Ⅲ）如果存在a∈（-∞，-1]，使得函數， x∈[-1, b]（b > -1），在x = -1處取得最小值，試求b的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）解法一：
依題意知方程在區間（1，2）內有不重復的零點，
由得 
∵x∈（1，2）， ∴
∴；
令  （x∈（1，2）），則，
∴在區間（1，2）上是單調遞增函數，其值域為，
故a的取值范圍是．             ………………………5分
解法二：
依題意知方程即在區間（1，2）內有不重復的零點，
當a=0時，得 x=0，但0（1，2）；
當a≠0時，方程的△=1+12a²>0，,必有兩異號根，
欲使f （x）在區間（1，2）上不是單調函數，方程在（1，2）內一定有一根，設，則F（1）·F（2）<0，
即 （2a+2）（11a+4）<0，解得，
故 a的取值范圍是．     
（解法二得分標準類比解法一）
（Ⅱ）函數g （x）的定義域為（0，+∞），
當 a≥0時，g （x）在（0，+∞）上單調遞增，無單調遞減區間；
當 a<0時，g （x）的單調遞減區間是  ………………8分
（Ⅲ）；
依題意在區間[-1, b]上恒成立，
即     ①
當x∈[-1, b] 恒成立，
當 x=-1時，不等式①成立；
當 -1< x ≤b時，不等式①可化為
   ②
令，由a∈（-∞,-1]知，的圖像是
開口向下的拋物線，所以，在閉區間上的最小值必在區間的端點處取得，
而，
∴不等式②恒成立的充要條件是，
即，
亦即  a∈（-∞,-1]；
當a∈（-∞,-1]時，，
∴ （b >-1）， 即 b²+b-4 ≤ 0；
解得；
但b >-1，∴；
故 b的最大值為，此時 a =-1符合題意．     ……………14分

解析