Question

【題目】已知函數f（x）= x3﹣2ax2+3a2x+b（a＞0）．
（1）當y=f（x）的極小值為1時，求b的值；
（2）若f（x）在區間[1，2]上是減函數，求a的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=x2﹣4ax+3a2=（x﹣a）（x﹣3a），

令f′（x）≥0，解得：x≤a，x≥3a，

令f′（x）＜0，解得：a＜x＜3a，

故f（x）在（﹣∞，a）遞增，在（a，3a）遞減，在（3a，+∞）遞增，

由函數的單調性可知，函數在x=3a處取極小值，

即f（3a）= （3a）3﹣2a（3a）2+3a23a+b=1，

所以b=1；

（2）解：f′（x）=x2﹣4ax+3a2=（x﹣a）（x﹣3a），

要使f（x）在區間[1，2]上是減函數，

則導數在[1，2]小于等于0，

即[1，2][a，3a]，

故 ，

所以 ≤a≤1

【解析】（1）求出函數的導數，得到函數的單調區間，從而求出f（3a）是函數的極小值，求出b的值即可；（2）根據函數的單調性得到[1，2][a，3a]，求出a的范圍化簡．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．