Question

已知直線l：y=3x+2過拋物線y=ax²（a＞0）的焦點．
（1）求拋物線方程；
（2）設拋物線的一條切線l₁，若l₁∥l，求切點坐標．

Answer 1

解：（1）拋物線y=ax²（a＞0）的焦點為（0，），-----------------3分
代入直線y=3x+2，得a=
（或用焦點坐標為（0，2）來解）拋物線方程x²=8y---------------------7分
（2）設切點坐標為（x₀，y₀），--------------------------------9分
由y=x，得y′=x，即，-------------------------12分
得x₀=12，代入拋物線方程得y₀=18
切點坐標為（12，18）-----------------------15分
分析：（1）拋物線y=ax²（a＞0）的焦點為（0，）代入直線y=3x+2可得 a 的值．
（2）設切點坐標為（x₀，y₀），由y=x，利用導數的幾何意義切線的斜率，從而求出切點坐標．
點評：本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，求出拋物線y=ax²（a＞0）的焦點為（0，）是解題的關鍵．