Question

已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)構(gòu)成等比數(shù)列，其公比為x，則函數(shù)y=x²-

5

x的值域?yàn)椋ā　。?/div>

• A．（-

  5

  4

  ，+∞）
• B．[-

  5

  4

  ，+∞）
• C．（-

  5

  4

  ，-1）
• D．[-

  5

  4

  ，-1）

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分析：由題意先設(shè)出三邊為a、xa、x²a、x＞0則由三邊關(guān)系：兩短邊和大于第三邊a+b＞c，分公比大于1與公式在小于1兩類(lèi)解出公比的取值范圍，此兩者的并集是函數(shù)y=x²-

5

x的定義域，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的值域，選出正確選項(xiàng)．

解答：解：設(shè)三邊：a、xa、x²a、x＞0則由三邊關(guān)系：兩短邊和大于第三邊a+b＞c，即
（1）當(dāng)x≥1時(shí)a+ax＞ax²，等價(jià)于解二次不等式：x²-x-1＜0，由于方程x²-x-1=0兩根為：

1- 5

2

和

1+ 5

2

，
故得解：

1- 5

2

＜q＜

1+ 5

2

且x≥1，
即1≤x＜

1+ 5

2

（2）當(dāng)x＜1時(shí)，a為最大邊，xa+x²a＞a即得x²+x-1＞0，解之得x＞

5 -1

2

或x＜-

1+ 5

2

且x＞0
即x＞

5 -1

2

綜合（1）（2），得：x∈（

5 -1

2

，

1+ 5

2

）
又y=x²-

5

x的對(duì)稱(chēng)軸是x=

5

2

，故函數(shù)在（

5 -1

2

，

5

2

）是減函數(shù)，在（

5

2

，

1+ 5

2

）是增函數(shù)
由于x=

5

2

時(shí)，y=-

5

4

；x=

5 -1

2

與x=

5 +1

2

時(shí)，y=-1
所以函數(shù)y=x²-

5

x的值域?yàn)閇-

5

4

，-1）
觀察四個(gè)選項(xiàng)知應(yīng)選D
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及二次函數(shù)的值域的求法，解答本題關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，能利用它建立不等式解出公比x的取值范圍得出函數(shù)的定義域，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)也很重要，由此類(lèi)題可以看出，扎實(shí)的雙基，嫻熟的基礎(chǔ)知識(shí)與公式的記憶是解題的知識(shí)保障．

Answer 1

分析：由題意先設(shè)出三邊為a、xa、x²a、x＞0則由三邊關(guān)系：兩短邊和大于第三邊a+b＞c，分公比大于1與公式在小于1兩類(lèi)解出公比的取值范圍，此兩者的并集是函數(shù)y=x²-

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x的定義域，再由二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的值域，選出正確選項(xiàng)．

解答：解：設(shè)三邊：a、xa、x²a、x＞0則由三邊關(guān)系：兩短邊和大于第三邊a+b＞c，即
（1）當(dāng)x≥1時(shí)a+ax＞ax²，等價(jià)于解二次不等式：x²-x-1＜0，由于方程x²-x-1=0兩根為：

1- 5

2

和

1+ 5

2

，
故得解：

1- 5

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＜q＜

1+ 5

2

且x≥1，
即1≤x＜

1+ 5

2

（2）當(dāng)x＜1時(shí)，a為最大邊，xa+x²a＞a即得x²+x-1＞0，解之得x＞

5 -1

2

或x＜-

1+ 5

2

且x＞0
即x＞

5 -1

2

綜合（1）（2），得：x∈（

5 -1

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，

1+ 5

2

）
又y=x²-

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x的對(duì)稱(chēng)軸是x=

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2

，故函數(shù)在（

5 -1

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，

5

2

）是減函數(shù)，在（

5

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，

1+ 5

2

）是增函數(shù)
由于x=

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時(shí)，y=-

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；x=

5 -1

2

與x=

5 +1

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時(shí)，y=-1
所以函數(shù)y=x²-

5

x的值域?yàn)閇-

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，-1）
觀察四個(gè)選項(xiàng)知應(yīng)選D
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及二次函數(shù)的值域的求法，解答本題關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，能利用它建立不等式解出公比x的取值范圍得出函數(shù)的定義域，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)也很重要，由此類(lèi)題可以看出，扎實(shí)的雙基，嫻熟的基礎(chǔ)知識(shí)與公式的記憶是解題的知識(shí)保障．