Question

已知雙曲線的中心在原點(diǎn)O，右焦點(diǎn)為F（c，0），P是雙曲線右支上一點(diǎn)，且△OEP的面積為
（Ⅰ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求此雙曲線的離心率；
（Ⅱ）若，當(dāng)取得最小值時(shí)，求此雙曲線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）、設(shè)所求的雙曲線的方程為，再由題設(shè)條件求出a和c，從而求出此雙曲線的離心率．
（2）、設(shè)所求的雙曲線的方程為，則再利用均值不等式求當(dāng)取得最小值時(shí)此雙曲線的方程．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)所求的雙曲線的方程為，
由
∴b²=c²-a²=2-a²．
由點(diǎn)在雙曲線上，
∴，
∴離心率
（Ⅱ）設(shè)所求的雙曲線的方程為，
則
∵△OFP的面積為
∵
解得∵，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
此時(shí)
（舍）．
則所求雙曲線的方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題是雙曲線的綜合題，難度較大．重點(diǎn)考查雙曲線的性質(zhì)和待定系數(shù)法的應(yīng)用，解題時(shí)要注意均值不等式的靈活應(yīng)用．