Question

已知平面內一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y軸的距離的差等于1.

(1)求動點P的軌跡C的方程.

(2)過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1,l2,設l1與軌跡C相交于點A,B,l2與軌跡C相交于點D,E,求·的最小值.

 

Answer 1

(1) y2=4x(x≥0)和y=0(x<0) (2) 16

【解析】(1)設動點P的坐標為(x,y),由題意得-|x|=1.化簡得y2=2x+2|x|,

當x≥0時,y2=4x;當x<0時,y=0.

所以動點P的軌跡C的方程為

y2=4x(x≥0)和y=0(x<0).

(2)由題意知,直線l1的斜率存在且不為0,設為k,則l1的方程為y=k(x-1).

由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.

設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個實根,于是x1+x2=2+,x1x2=1.

因為l1⊥l2,所以l2的斜率為-.

設D(x3,y3),E(x4, y4),

則同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1.

·=(+)·(+)

=·+·+·+·

=·+·=||·||+||·||

=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1)

=x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1

=1+(2+)+1+1+(2+4k2)+1

=8+4(k2+)≥8+4×2=16.

故當且僅當k2=,即k=±1時,·取最小值16.