Question

在極坐標系中，已知圓C的圓心C（

2

，

π

4

），半徑r=

3

．
（Ⅰ）求圓C的極坐標方程；
（Ⅱ）若α∈[0，

π

4

），直線l的參數方程為

x=2+tcosα y=2+tsinα

（t為參數），直線l交圓C于A、B兩點，求弦長|AB|的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先利用圓心坐標與半徑求得圓的直角坐標方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得圓C的極坐標方程．
（II）設A，B兩點對應的參數分別為t₁，t₂，則|AB|=|t₁-t₂|，化為關于α的三角函數求解．

解答：解：（Ⅰ）∵C（

2

，

π

4

）的直角坐標為（1，1），
∴圓C的直角坐標方程為（x-1）²+（y-1）²=3．
化為極坐標方程是ρ²-2ρ（cosθ+sinθ）-1=0  …（5分）
（Ⅱ）將

x=2+tcosα y=2+tsinα

代入圓C的直角坐標方程（x-1）²+（y-1）²=3，
得（1+tcosα）²+（1+tsinα）²=3，
即t²+2t（cosα+sinα）-1=0．
∴t₁+t₂=-2（cosα+sinα），t₁•t₂=-1．
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=2

2+sin2α

．
∵α∈[0，

π

4

），∴2α∈[0，

π

2

），∴2

2

≤|AB|＜2

3

．
即弦長|AB|的取值范圍是[2

2

，2

3

）…（10分）

點評：本題考查極坐標和直角坐標的互化，直線與圓的位置關系．利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即可．