Question

（2012•遼寧）如圖，動圓C1：x2+y2=

t

2

，1＜t＜3與橢圓C₂：

x2

9

+y2=1相交于A，B，C，D四點，點A₁，A₂分別為C₂的左，右頂點．
（Ⅰ）當t為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積；
（Ⅱ）求直線AA₁與直線A₂B交點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設A（x₀，y₀），則矩形ABCD的面積S=4|x₀||y₀|，由

x02

9

+y02=1得y02=1-

x02

9

，從而x02y02=x02( 1-

x02

9

)，由此可求矩形ABCD的面積的最大值；
（Ⅱ）由A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），A₁（-3，0），A₂（3，0），確定直線AA₁的方程，直線A₂B方程，利用y02=1-

x02

9

，即可求得直線AA₁與直線A₂B交點M的軌跡方程．

解答：解：（Ⅰ）設A（x₀，y₀），則矩形ABCD的面積S=4|x₀||y₀|
由

x02

9

+y02=1得y02=1-

x02

9

，從而x02y02=x02( 1-

x02

9

)=-

1

9

(x02-

9

2

)2+

9

4

∴x02=

9

2

，y02=

1

2

時，S_max=6
∴t=

5

時，矩形ABCD的面積取得最大值，最大面積為6；
（Ⅱ）由A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），A₁（-3，0），A₂（3，0），知直線AA₁的方程為y=

y0

x0+3

(x+3)①
直線A₂B方程為y=

-y0

x0-3

(x-3)②
由①②可得：y2=

-y02

x02-9

(x2-9)③
∵y02=1-

x02

9

④
∴④代入③可得

x2

9

-y2=1（x＜-3，y＜0）
∴直線AA₁與直線A₂B交點M的軌跡方程

x2

9

-y2=1（x＜-3，y＜0）．

點評：本題主要考查直線、圓、橢圓的方程，橢圓的幾何性質，軌跡方程的求法，考查函數方程思想、轉化思想、運算求解能力和推理論證能力，難度較大．