Question

如圖所示的五面體中，四邊形ABCD是矩形，DA⊥面ABEF，M為EF中點，且DA=1，AB∥EF，AB=

1

2

EF=2

2

，AF=BE=2．
（Ⅰ）求證：CM∥平面ADF；
（Ⅱ）求三棱錐M-ADF的體積．

Answer 1

分析：（I）利用平行四邊形的判定定理和性質定理、線面平行的判定定理即可得出；
（II）利用已知可證：△FAM為直角三角形且∠FAM=90°．利用DA⊥面ABEF，且DA=1，可得DA是三棱錐D-MAF的高．
可得V_M-ADF=V_D-MAF=

1

3

S△MAF•DA．

解答：（I）證明：連接CM，由題意可得，AB

∥

.

1

2

EF，AB

∥

.

CD，MF=

1

2

EF，
∴CD

∥

.

MF，
∴四邊形MFDC為平行四邊形，
∴DF∥CM．
∵DF?平面ADF，CM?平面ADF，
∴CM∥平面ADF．
（Ⅱ）解：∵M為EF的中點，
∴EM=AB=2

2

，
又∵AB∥EF，∴四邊形ABEM是平行四邊形．
∴AM=BE=2，
又∵AF=2，MF=2

2

，
∴△FAM為直角三角形且∠FAM=90°．
∴S△MAF=

1

2

AM•AF=

1

2

×2×2=2．
∵DA⊥面ABEF，且DA=1，∴DA是三棱錐D-MAF的高．
∴V_M-ADF=V_D-MAF=

1

3

S△MAF•DA=

1

3

×2×1=

2

3

．

點評：熟練掌握平行四邊形的判定定理和性質定理、線面平行的判定定理、線面垂直的性質、三棱錐的體積計算公式、等體積變形等是解題的關鍵．