Question

【題目】已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，anan＋1＝2Sn.(n∈N*)

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(Ⅱ)求數(shù)列{n·}的前n項(xiàng)和Tn.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) an＝n，n∈N*；(Ⅱ) (n－1)·2n＋1＋2.

【解析】試題分析: （Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，求出a2=2，當(dāng)n≥2時(shí)，求出an+1﹣an﹣1=2，由此能求出an=n，（Ⅱ）由an=n，n·2an =n2n，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{ n·2an }的前n項(xiàng)和．

試題解析：

(Ⅰ)∵數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，anan＋1＝2Sn.(n∈N*)，

∴當(dāng)n＝1時(shí)，a1a2＝2a1，解得a2＝2，

當(dāng)n≥2時(shí)，an－1an＝2Sn－1，an(an＋1－an－1)＝2an，

∵an＞0，∴an＋1－an－1＝2，

∴a1，a3，…，a2n－1，…，是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，a2n－1＝2n－1，

a2，a4，…，a2n，…，是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)，a2n＝2n，∴an＝n，n∈N*.

(Ⅱ)∵an＝n，n·2an＝n·2n，

∴數(shù)列{n·2an}的前n項(xiàng)和：

Tn＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①

2Tn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②.

②－①，得：Tn＝n·2n＋1－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n·2n＋1－＝(n－1)·2n＋1＋2.