Question

已知函數f(x)=a|x|+

2

ax

(x∈R，a＞1），
（1）求函數f（x）的值域；
（2）記函數g（x）=f（-x），x∈[-2，+∞），若g（x）的最小值與a無關，求a的取值范圍；
（3）若m＞2

2

，直接寫出（不需給出演算步驟）關于x的方程f（x）=m的解集．

Answer 1

分析：（1）表達式形式上提醒我們可以嘗試基本不等式求解，則需要對自變量x的絕對值符號進行討論分析．不過要注意是否真的能用基本不等式，即注意基本不等式的使用條件．
（2）本題需要通過f（x）求出g（x）表達式，觀察表達式可知，解決本題的關鍵是對函數解析式中絕對值符合的處理，要去掉絕對值符號可以根據定義分類討論．
（3）需要對變量m分以下兩種情況討論：2

2

＜m≤3，m＞3

解答：解：（1）①x≥0時，∵ax≥1，f(x)=a|x|+

2

ax

=ax+

2

ax

≥2

2

，
當且僅當ax=

2

ax

，即ax=

2

＞1時等號成立；
②x＜0，∵a＞1，∴0＜ax＜1，∴f(x)=

3

ax

＞3，
由①②知函數f（x）的值域為[2

2

，+∞)．
（2）g（x）=f（-x）=a^|x|+2a^x，x∈[-2，+∞），
①x≥0，∵a＞1，∴a^x≥1，g（x）=3a^x，∴g（x）≥3，
②-2≤x＜0時，∵a＞1，

1

a2

≤ax＜1，g(x)=a-x+2ax，
令t=a^x，則g(x)=2t+

1

t

，記h(t)=2t+

1

t

．(

1

a2

≤t＜1)，h(t)=2t+

1

t

≥2

2

，當且僅當2t=

1

t

，t=

2

2

時等號成立，
（i）

1

a2

≤

2

2

，即a≥

4	2

時，結合①知g(x)min=2

2

與a無關；
（ii）

1

a2

＞

2

2

，即1＜a＜

4	2

時，h′(t)=2-

1

t2

≥2-a4＞0，∴h（t）在[

1

a2

，1)上是增函數，g(x)min=h(t)min=h(

1

a2

)=a2+

2

a2

＜3，
結合①知g(x)min=a2+

2

a2

與a有關；
綜上，若g（x）的最小值與a無關，則實數a的取值范圍是a≥

4	2

．
（3）①2

2

＜m≤3時，關于x的方程f（x）=m的解集為{x|x=loga

m± m2-8

2

}；
②m＞3時，關于x的方程f（x）=m的解集為{x|x=loga

m+ m2-8

2

或x=loga

3

m

}．

點評：（1）去絕對值符號的兩種常用方法：
①絕對值定義法：|x|=

x  x≥0 -x x＜0

②要去絕對值式子兩端同時平方．
（2）使用均值不等式的條件：
①一正（a，b都是正數）；
②二定（若求a+b則ab是定值，若求ab則a+b是定值）；
③三等．（當且僅當a=b時不等式取“=”）．