Question

已知函數f(n)=logn+1(n+2)(n∈N*)，定義使f（1）•f（2）…f（k）為整數的數k（k∈N^*）叫做企盼數，則在區間[1，2011]內這樣的企盼數共有

9

個．

Answer 1

分析：由已知中函數f（n）=log_n+1（n+2）（n∈N*），由對數運算的性質易得f（1）•f（2）…f（k）=log₂（k+2），若其值為整數，則k+2=2ⁿ（n∈Z），結合k∈[1，2011]，我們易得到滿足條件的數的個數．

解答：解：∵函數f（n）=log_n+1（n+2）（n∈N*），
∴f（1）=log₂3，
f（2）=log₃4
…
f（k）=log_k+1（k+2），
∴f（1）•f（2）…f（k）=log₂3•log₃4…log_k+1（k+2）
=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

…

lg(k+2)

lg(k+1)

=

lg(k+2)

lg2

=log₂（k+2），
若f（1）•f（2）…f（k）為整數
則k+2=2ⁿ（n∈Z）
又∵k∈[1，2011]，
故k∈{2，6，14，30，62，126，254，510，1022}
故答案為：9．

點評：本題考查的知識點是對數的運算性質，其中用換底公式log_ab=

logcb

logca

求得（1）•f（2）…f（k）=log₂（k+2）是解答本題的關鍵，屬于難題．