Question

甲、乙二人進行射擊比賽．甲先射擊，乙后射擊，二人輪流進行．已知甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為，若某人射擊時出現連續兩次不中則被停止射擊，或若兩人均未出現連續不中，則各射擊5次后比賽也停止．
（Ⅰ）求甲恰在第三次射擊后停止比賽而乙尚未停止比賽的概率．
（Ⅱ）求甲停止比賽時，甲所進行的比賽次數ξ的數學期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）記“甲恰在第二次射擊后停止比賽布乙尚未停止比賽”為事件A，
則P（A）=•=．
（Ⅱ）由題設知ξ的可能取值為2，3，4，5，
P（ξ=2）=，
P（ξ=3）==，
P（ξ=4）=+=，
P（ξ=5）=+3•+=，
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5
P

故Eξ=+++=．
分析：（Ⅰ）記“甲恰在第二次射擊后停止比賽布乙尚未停止比賽”為事件A，由P（A）=•能求出甲恰在第三次射擊后停止比賽而乙尚未停止比賽的概率．
（Ⅱ）由題設知ξ的可能取值為2，3，4，5，分別求出P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是歷年高考的必考題型．解題時要認真審題，注意概率知識的靈活運用．