Question

已知函數f（x）=x²+ax+b（a＞0，b∈R），x∈R
（1）若-1為f（x）=0的一個根，且函數f（x）的值域為[-4，+∞），求f（x）的解析式；
（2）在（1）的條件下，當x∈[-2，2]時，h（x）=f（x）-kx是單調函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用-1為f（x）=0的一個根，且函數f（x）的值域為[-4，+∞），建立關系即可求a，b的值．
（2）利用h（x）=f（x）-kx是單調函數，得到區間[-2，2]和對稱軸之間的關系，建立不等式關系即可．

解答：解：（1）∵-1為f（x）=0的一個根，∴f（-1）=1-a+b=0，①
∵函數f（x）的值域為[-4，+∞），
∴

4b-a2

4

=-4，②
由①②解得a=6，b=5．
∴f（x）=x²+6x+5．
（2）函數h（x）=f（x）-kx=x²+（6-k）x+5，對稱軸為x=

k-6

2

，
要使h（x）=f（x）-kx是在[-2，2]上是單調函數，
則

k-6

2

≤-1或

k-6

2

≥2，
解得k≤2或k≥10．
故實數k的取值范圍是：k≤2或k≥10．

點評：本題主要考查二次函數的圖象和性質，以及函數單調性的應用，比較綜合．