Question

（本小題滿分14分）已知各項均為正數的數列滿足,且,其中.
（Ⅰ）求數列的通項公式;
（Ⅱ）設數列的前項和為,令,其中,試比較與的大小,并加以證明.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）

（Ⅰ）因為,即………2分
又,所以有,所以…………3分
所以數列是公比為的等比數列，由得,解得……4分
故數列的通項公式為…………5分
（Ⅱ）因，………6分，所以
即數列是首項為,公比是的等比數列，所以…………7分
則，又
………9分
當時，
當時，，當時，
猜想：（）…………10分，下面用數學歸納法證明
①當時，,上面不等式顯然成立；………11分
②假設當時，不等式成立…………12分
當時，………13分
綜上①②對任意的均有
又，所以對任意的均有…………14分
證明二：(Ⅱ) 因，………6分，所以
即數列是首項為,公比是的等比數列，所以…………7分
則，又
………9分
當時，………10分
因為………12分
∵，∴………13分
，即對任意的均有………14分