Question

設函數f(x)=5sin(

k

5

x-

π

3

)(k≠0)．
（1）寫出f（x）的最大值M，最小值m，最小正周期T；
（2）試求最小正整數k，使得當自變量x在任意兩個整數間（包括整數本身）變化時，函數f（x）至少有一個值是M和一個值是m．

Answer 1

分析：（1）根據三角函數的解析式求出其最值，由公式求出最小正周期T；
（2）函數f（x）至少有一個值是M和一個值是m說明函數此時的k值滿足函數的周期小于等于1，即T≤1，由此建立關于參數的方程，求出k的取值范圍，即可得到其最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=5sin(

k

5

x-

π

3

)(k≠0)
∴M=5，m=-5，T=

2π

| k 5 |

=

10π

|k|

；
（2）由題意知，函數f（x）在任意兩個整數間（包括整數本身）變化時，至少有一個值是M和一個值是m，∴T≤1，即

10π

|k|

≤1，∴|k|≥10π＞31.4，∵k∈N^*，∴最小正整數k為32．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，解題的關鍵是掌握周期公式以及對問題的正確轉化如在第二問中對使得當自變量x在任意兩個整數間（包括整數本身）變化時，函數f（x）至少有一個值是M和一個值是m理解與轉化．正確轉化問題對解題很重要．