Question

【題目】有5個(gè)匣子，每個(gè)匣子有一把鑰匙，并且鑰匙不能通用．如果隨意在每一個(gè)匣內(nèi)放入一把鑰匙，然后把匣子全都鎖上．現(xiàn)在允許砸開一個(gè)匣子，使得能相繼用鑰匙打開其余4個(gè)匣子，那么鑰匙的放法有______種．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先，在砸開的匣子中必放有另一個(gè)匣子的鑰匙，在匣子中又放有匣子的鑰匙，在匣子中放有匣子的鑰匙，在匣子中放有匣子的鑰匙，在匣子中放有被砸開的匣子的鑰匙．記這個(gè)砸開的匣子為．這就相當(dāng)于1，2，3，4，5形成一個(gè)環(huán)狀排列．

反過(guò)來(lái)，對(duì)由1，2，3，4，5排成的每一種環(huán)狀排列，也就可以對(duì)應(yīng)成一種相繼打開各個(gè)匣子的一種放鑰匙的方法．先讓5個(gè)匣子沿著圓環(huán)對(duì)號(hào)入座，再在每個(gè)匣子中放入其下方的匣子的鑰匙（如圖），這就得到一種相繼打開各個(gè)匣子的放鑰匙的方法．所以，可使所有匣子相繼打開的放鑰匙的方法數(shù)恰與1，2，3，4，5的環(huán)狀排列數(shù)相等．

由于每個(gè)環(huán)狀排列（如圖）可以剪開拉直為5個(gè)排列：，，，，；，，，，；，，，，；，，，，；，，，，．

反之，5個(gè)這樣的排列對(duì)應(yīng)著一個(gè)環(huán)狀排列，因而5個(gè)元素的環(huán)狀排列數(shù)為（種）．

一般地，個(gè)元素的環(huán)狀排列數(shù)為種．